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时间序列分析-如何写出ARIMA模型的公式
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发布时间:2019-03-13

本文共 1460 字,大约阅读时间需要 4 分钟。

时间序列数据分析是统计学中的重要领域之一,而ARMA(自回归移动平均模型)和ARIMA(ARMA加差分模型)模型是解决时间序列问题的常用工具。在实际应用中,我们需要将模型拟合结果中的参数p、d、q代入公式,这需要对滞后算子、差分以及ARMA/ARIMA模型的基础知识有清晰的理解。

滞后算子与差分

为了理解ARMA/ARIMA模型的工作原理,首先需要明确滞后算子和差分的概念:

  • 滞后算子

    滞后算子是用于表示时间序列前几项的线性组合。例如,若有滞后算子ρ(φ),则表示为:[y_t = \rho_1 y_{t-1} + \rho_2 y_{t-2} + \cdots + \rho_p y_{t-p}]滞后算子是AR模型的核心,描述了时间序列当前项与之前若干项的线性关系。

  • 差分

    差分是将时间序列转换为无序序列的方法,以观察变量的变化趋势。常用的差分包括:

    • 一阶差分:( \Delta y_t = y_t - y_{t-1} )
    • 二阶差分:( \Delta^2 y_t = \Delta y_t - \Delta y_{t-1} ),以此类推。
  • ARMA/ARIMA模型通过结合滞后算子和差分处理了时间序列中的自相关性和非均匀性。

    ARMA与ARIMA模型公式

  • ARMA模型:ARMA模型结合了滞后算子和移动平均部分,公式为:[y_t = u_t + \rho_1 y_{t-1} + \rho_2 y_{t-2} + \cdots + \rho_p y_{t-p}]其中,( u_t ) 为白噪声项,( \rho ) 为滞后算子。

  • ARIMA模型:ARIMA模型在ARMA基础上增加了差分处理。假设序列经过d阶差分后的序列满足ARMA(p, d, q)模型,公式为:[\Delta^d y_t = u_t + \rho_1 y_{t-1} + \rho_2 y_{t-2} + \cdots + \rho_p y_{t-p}]其中,( d ) 为差分阶数,( q ) 为移动平均参数。

  • 参数p,d,q的含义

    • p:滞后算子阶数,表示模型能容纳的自回归项数量。
    • d:差分阶数,描述序列需要做多少次差分后迎QueryString。
    • q:移动平均阶数,衡量模型所引入的白噪声项数量。

    如何将p,d,q代入ARIMA模型

  • 数据预处理

    • 如果需要使用ARIMA模型,首先需对原始序列进行d阶差分,去除滞后效应。
    • 检查差分后的序列是否满足自回归性(AR)。
  • 选定模型参数

    • 选择合适的p和q,通常采用自动检验方法(如AIC,BIC)或经验法则(如盒adx检验)。
    • d一般取1或2,具体视序列差异而定。
  • 构建ARIMA模型:[\Delta^d y_t = \mu + \theta_1 \Delta^d y_{t-1} + \cdots + \theta_d \Delta^{d-1} y_{t-d} + \epsilon_t]其中,( \mu ) 为常数项,( \theta ) 为移动平均系数。

  • 模型拟合与验证

    • 应用最大似然估计、最小二乘法或优化算法拟合模型。
    • 使用信息准则(AIC/BIC)或横断面检验(如t检验)验证模型的合适性。
  • 预测与应用

    • 利用得到的p,d,q参数对原始序列进行预测。
    • 可结合差分逆变换法(inverse differencing)恢复原始序列的预测值。
  • ARIMA模型通过结合滞后算子和差分,为时间序列数据提供了强大建模工具。理解p,d,q的含义及其在模型中的作用,是成功应用ARIMA模型的关键。

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