滞后算子：

差分：

• 一阶差分：( \Delta y_t = y_t - y_{t-1} )
• 二阶差分：( \Delta^2 y_t = \Delta y_t - \Delta y_{t-1} )，以此类推。

ARMA模型：ARMA模型结合了滞后算子和移动平均部分，公式为：[y_t = u_t + \rho_1 y_{t-1} + \rho_2 y_{t-2} + \cdots + \rho_p y_{t-p}]其中，( u_t ) 为白噪声项，( \rho ) 为滞后算子。

ARIMA模型：ARIMA模型在ARMA基础上增加了差分处理。假设序列经过d阶差分后的序列满足ARMA(p, d, q)模型，公式为：[\Delta^d y_t = u_t + \rho_1 y_{t-1} + \rho_2 y_{t-2} + \cdots + \rho_p y_{t-p}]其中，( d ) 为差分阶数，( q ) 为移动平均参数。

数据预处理：

• 如果需要使用ARIMA模型，首先需对原始序列进行d阶差分，去除滞后效应。
• 检查差分后的序列是否满足自回归性（AR）。

选定模型参数：

• 选择合适的p和q，通常采用自动检验方法（如AIC，BIC）或经验法则（如盒adx检验）。
• d一般取1或2，具体视序列差异而定。

构建ARIMA模型：[\Delta^d y_t = \mu + \theta_1 \Delta^d y_{t-1} + \cdots + \theta_d \Delta^{d-1} y_{t-d} + \epsilon_t]其中，( \mu ) 为常数项，( \theta ) 为移动平均系数。

模型拟合与验证：

• 应用最大似然估计、最小二乘法或优化算法拟合模型。
• 使用信息准则（AIC/BIC）或横断面检验（如t检验）验证模型的合适性。

预测与应用：

• 利用得到的p,d,q参数对原始序列进行预测。
• 可结合差分逆变换法（inverse differencing）恢复原始序列的预测值。